【题目】[感知]
如图①,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点(点D不与点B、C重合),作∠EDF=60°,使角的两边分别交边AB、AC于点E、F,且BD=CF.若DE⊥BC,则∠DFC的大小是 度;
[探究]
如图②,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点(点D不与点B、C重合),作∠EDF=60°,使角的两边分别交边AB、AC于点E、F,且BD=CF.求证:BE=CD;
[应用]
在图③中,若D是边BC的中点,且AB=2,其它条件不变,如图③所示,则四边形AEDF的周长为 .
【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)4
【解析】
[感知]由等边三角形性质知∠B=∠C=60°,根据DE⊥BC,∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°,据此可得答案.
[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED,且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED,据此证△BDE≌△CFD可得答案.
[应用]先得出BD=CD=CF=AF=1,再由[探究]知△BDE≌△CFD,据此得BE=CD=1,DE=DF,结合∠B=60°知△BDE是等边三角形,得出DE=DF=1,再进一步求解可得答案.
[感知]如图1.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵DE⊥BC,即∠BDE=90°,∠EDF=60°,∴∠BED=∠CDF=30°,∴∠DFC=90°.
故答案为:90.
[探究]∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED,且∠EDF=60°,∴∠CDF=∠BED.
在△BDE和△CFD中,∵,∴△BDE≌△CFD(AAS),∴BE=CD.
[应用]∵△ABC是等边三角形,AB=2,∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=2.
∵D为BC中点,且BD=CF,∴BD=CD=CF=AF=1,由[探究]知△BDE≌△CFD,∴BE=CD=1,DE=DF.
∵∠B=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=DF=1,则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4.
故答案为:4.
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【题目】甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:
①甲队每天挖100米;
②乙队开挖两天后,每天挖50米;
③甲队比乙队提前3天完成任务;
④当x=2或6时,甲乙两队所挖管道长度都相差100米.
正确的有 . (在横线上填写正确的序号)
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【题目】已知:如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B 求证:∠AED=∠ACB
证明:∵∠1+∠4=180°(平角定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴_____________( )
∴ ∥ ( )
∴∠3+∠ =180°( )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠ +∠ =180°(等量代换)
∴ ∥ ( )
∴∠AED=∠ACB( ).
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【题目】已知:如图1,过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,CE,其中CE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠PAB=16°,求∠ACF的度数;
(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FC之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.
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【题目】已知:点A在射线CE上,∠C=∠D.
(1)如图1,若AC∥BD,求证:AD∥BC;
(2)如图2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,请探究∠DAE与∠C的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明;
(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DF∥BC交射线于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
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【题目】Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2= °;
(2)若点P在边AB上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?说明理由.
(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.
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【题目】下列叙述中,正确的有( )
①如果,那么;②满足条件的n不存在;
③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点,且这点一定在三角形的内部;
④ΔABC中,若∠A+∠B=2∠C, ∠A-∠C=40°,则这个△ABC为钝角三角形.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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