Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（﹣4，0），线段AB的垂直平分线CD分别交AB、OA于点C、D，其中点D的坐标为（0，3）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求线段CD的长；

（3）点E为y轴上一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x+8；（2）CD=；（3）满足题意的点E坐标为（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．

【解析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）先由勾股定理求出AB的长，再由垂直平分线的性质求出AC的长，然后证明△CAD∽△OAB，利用相似三角形的对应边成比例即可求出CD的长，

（3）先由△CAD∽△OAB，求出AD和OD的长，然后分当CD=DE时，当CD=CE时，当CE=DE时三种情况求解即可；

（1）∵A（0，8），

∴设直线AB的解析式为y=kx+8，

∵B（﹣4，0），

∴﹣4k+8=0，

∴k=2，

∴直线AB的解析式为y=2x+8；

（2）∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴OA=8，OB=4，AB=4，

∵CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD=90°，AC=AB=2，

∵∠ACD=∠AOB=90°，∠CAD=∠OAB，

∴△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴CD=，

（3）∵△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴AD=5，

∴OD=OA﹣AD=3，D（0，3），

当CD=DE时，DE=，

∴E（0，5+）或（0，5﹣），

当CD=CE时，如图1，

∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴C（﹣2，4），

过点C作CF⊥y轴于F，

∴DF=EF，F（0，4），

∴E（0，5）；

当CE=DE时，如图2，过E作E'G⊥CD，则E'G是线段CD的中垂线，

∵AB⊥CD，

∴E'G是△ACD的中位线，

∴DE'=AE'=AD=，

∴OE'=OD+DE'=，

∴E（0，），

即：满足题意的点E坐标为（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．