Question

14．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，-6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧$\widehat{OB}$的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；
（2）根据圆周角定理由$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标．

解答 解：（1）∵O（0，0），A（0，-6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点，
∴P（4，-3）；
（2）∵M点是劣弧OB的中点，
∴$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，
∵$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4，
在Rt△PBQ中，PQ=$\sqrt{P{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴MQ=2，
∴M点的坐标为（4，2）；
∵MQ∥ON，
而OQ=BQ，
∴MQ为△BON的中位线，
∴ON=2MQ=4，
∴N点的坐标为（0，4）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长．此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形．