Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．
【小题1】三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即  
给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；
【小题2】三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；
【小题3】若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图③），当AP:AC=1:4时，PE和          
PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

Answer 1

【小题1】△OFC是能成为等腰直角三角形，
①当F为BC的中点时，
∵O点为AC的中点，AB=BC=5， ∴OF∥AB，    ∴CF=OF=，    ∴BF=
②当B与F重合时，   ∵OF=OC=，     ∴BF=0
【小题1】如图一，连接OB，  ∵由（1）的结论可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C        ∴△OEB≌△OFC，      ∴OE=OF
【小题1】如图二，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，       ∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，       ∴△PNF∽△PME，     ∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形，      ∴△APM∽△PNC，    ∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，        ∴AP：PC=1：3，     ∴PE：PF=1：3．

解析【小题1】由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度；
【小题1】连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
【小题1】过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4．