Question

6．已知直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大．

Answer 1

分析 根据正方形的性质和相似三角形的性质列出比例式，分别计算出两个正方形的边长，比较即可．

解答 解：图（1）中，设DE=CD=EF=CF=x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得，x=$\frac{12}{7}$，
则图（1）正方形DEFC的边长为$\frac{12}{7}$；
图（2）中，作CM⊥AB垂足为M交DE于N．设正方形DEFG边长为y．
在RT△ABC中，∵AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=5，
则CM=$\frac{12}{5}$，
∵DE∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{y}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-y}{\frac{12}{5}}$，
解得，y=$\frac{60}{37}$，
则图（2）正方形DEFC的边长为$\frac{60}{37}$，
∵$\frac{12}{7}$＞$\frac{60}{37}$，
∴第一种方法剪出的正方形的面积较大．

点评 本题考查相似三角形的应用、平行线分线段成比例定理、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．