Question

如图，已知AE为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D交⊙O于F．
（1）求证：∠BAE=∠CAF；
（2）若∠ACB=60°，CF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
又∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF；

（2）∵∠BAE=∠CAF，CF=2，
∴BE=2，
又∵∠ACB=60°，AD⊥BC，
∴∠CAF=30°，
∴∠BAE=30°，
∴AE=2BE=4，
∴⊙O半径=2．