Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F
（1）求椭圆E的方程；
（2）过坐标原点O的直线交椭圆W： =1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接DF2，FO（O为原点，F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为 ，

因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，

所以|DF1|=2a﹣|DF2|=2a﹣2b，故 ，

在Rt△FOF1中， ，

即b2+（a﹣b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，

所以椭圆E的方程为

（2）

解：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为 ，

设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0），

∴ ， ，直线 ，

联立方程组 ，化简得 ，

∴

因为xA=﹣m，所以 ，则

所以 ，

则kPAkPB=﹣1，即PA⊥PB．

【解析】（I）用a，b，c表示出△OF1F的边长，利用勾股定理列方程解出a，b，即可；（II）设P（m，n），用m，n表示出直线AC的方程，求出B点坐标，计算PA，PB的斜率即可得出结论．