Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2 ， 直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴对称轴为y=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）

（2）解：①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5

（3）解：抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x=2时，y=2或者﹣2；

当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

∴a= 或

【解析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；
【考点精析】关于本题考查的二次函数图象的平移和抛物线与坐标轴的交点，需要了解平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．