Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S₁和S₂．
（1）求证：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²
∴S₁+S₂=π（AC）²+π（BC）²-π（AB）²+S_△ABC
=π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．
（2）∵AB+AC+BC=2+，AB=2，
∴AC+BC=．
两边平方得：AC²+BC²+2AC•BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC•BC=2，AC•BC=1．
∴S_△ABC=AC•BC=．
∴图中阴影部分面积的和为．
分析：（1）根据题给图形可知：S₁+S₂=π（AC）²+π（BC）²-π（AB）²+S_△ABC，又在Rt△ABC中BC²+AC²=AB²，继而即可得出答案；
（2）要求阴影部分的面积求出Rt△ABC的面积即可，也即求出AC•BC即可．
点评：本题考查勾股定理的知识，解题关键是找出各个图形之间的关系，证得S₁+S₂=S_△ABC，难度一般．