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    20、观察下列运算并填空：
    1×2×3×4+1=25=52；
    2×3×4×5+1=121=112：
    3×4×5×6+1=361=192；…
    根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
    （n2+5n+5）2
    ．
    分析：先根据题中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方变形后，归纳猜想得到所求式子的化简结果，然后进行证明，方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简，合并后，把平方项的系数拆为10+25，然后利用完全平方公式化简后，即可得到与等式的右边相等．
    解答：解：由1×2×3×4+1=25=52=（02+5×0+5）2；
    2×3×4×5+1=121=112=（12+5×1+5）2；
    3×4×5×6+1=361=192=（22+5×2+5）2，…
    观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n2+5n+5）2．
    证明：等式左边=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
    =（n2+3n+2）（n2+7n+12）+1
    =n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25
    =n4+10n3+35n2+50n+25
    =n4+2n2（5n+5）+（5n+5）2
    =（n2+5n+5）2=等式右边．
    故答案为：（n2+5n+5）2
    点评：此题考查学生根据已有的等式归纳总结，得出一般性规律的能力，是一道中档题．
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    1×2×3×4+1=25=52；
    2×3×4×5+1=121=112：
    3×4×5×6+1=361=192；…
    根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1=
    （n2+3n+1）2
    ．

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    1×2×3×4+1=24+1=25=52
    2×3×4×5+1=120+1=121=112
    3×4×5×6+1=360+1=361=192
    4×5×6×7+1=
    840
    +1=
    841
    =
    29
    2
    7×8×9×10+1=
    5040
    +1=
    5041
    =
    71
    2
    试猜想（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
    （n2+5n+5）
    2．

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    1×2×3×4+1=24+1=25=52；   2×3×4×5+1=120+1=121=112
    3×4×5×6+1=360+1=361=192…
    （1）4×5×6×7+1=
    840
    840
    +1=
    842
    842
    =
    29
    29
    2
    （2）试猜想（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
    （n2+5n+5）
    （n2+5n+5）
    2．

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    观察下列运算并填空：
    1×2×3×4+1=25=52；
    2×3×4×5+1=121=112；
    3×4×5×6+1=361=192；
    …
    9×10×11×12+1=
    11881
    11881
    =
    109
    109
    2；
    根据以上结果，猜想：
    （n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
    （n2+5n+5）
    （n2+5n+5）
    2．

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