【题目】如图,把矩形沿对折,使与重合,折痕交于,连,若,,为上一个动点,则的最小值为________
【答案】10
【解析】
先根据折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质可得,,从而可得点E与点F关于BD对称,再根据两点之间线段最短得出的最小值为CE的长,过点A作于点H,根据平行线的性质、正切三角函数可得,从而设,再根据平行线分线段成比例定理分别可求出AE的长,然后利用正切三角函数值可求出AB的长,从而可得CD的长,由此即可得出答案.
如图,连接PE、CE,过点A作于点H
由折叠的性质可知,
四边形ABCD是矩形
在和中,
,
点E与点F关于BD对称,即BD垂直平分EF
由两点之间线段最短可知,当三点共线时,取得最小值,最小值为CE
,即
在中,
设,则
点G是矩形ABCD对角线的交点
,
,即
解得
在中,
在中,
解得
在中,
则的最小值为10
故答案为:10.
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=.点D,E分别在边AB,AC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF,连结BF,BF的中点为G.
(1)当点E与点C重合时.
①如图1,若AD=BD,求BF的长.
②当点D从点A运动到点B时,求点G的运动路径长.
(2)当AE=3,点G在△DEF一边所在直线上时,求AD的长.
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【题目】如图,在锐角等腰三角形ABC中,AB=AC,点O为△ABC外接圆的圆心,连结OC,过点B作AC的垂线,交⊙O于点D,交OC于点E,交AC于点F,连结AD和CD.
(1)若∠BAC=2α,则∠BDA= (用含α的代数式表示).
(2)①求证:OC∥AD;
②若E为OC的中点,求的值.
(3)若x=,y=,求y关于x的函数关系式.
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【题目】在篮球比赛中,东东投出的球在点A处反弹,反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系),抛物线顶点为点B.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)当球运动到点C时被东东抢到,CD⊥x轴于点D,CD=2.6m.
①求OD的长.
②东东抢到球后,因遭对方防守无法投篮,他在点D处垂直起跳传球,想将球沿直线快速传给队友华华,目标为华华的接球点E(4,1.3).东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式h1=﹣2(t﹣0.5)2+2.7(0≤t≤1);小戴在点F(1.5,0)处拦截,他比东东晚0.3s垂直起跳,其拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线的形状相同).东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E?若能,东东应在起跳后什么时间范围内传球?若不能,请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不计).
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
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【题目】疫情防控期间,学校开学初购进A、B两种消毒液,购买A种消毒液花费2500元,购买B种消毒液花费2000元,且A种消毒液数量是B种消毒液数量的2倍,一桶B种消毒液比一桶A种消毒液贵30元.
(1)求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元?
(2)为了加强防控,学校准备再次购买A、B两种消毒液共50桶,A种消毒液售价比第一次提高了8%,B种消毒液按第一次售价的9折出售,如果此次购买总费用不超过3260元,那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液?
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【题目】阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当,时,∵,∴,当且仅当时取等号.请利用上述结论解决以下问题:
(1)当时,的最小值为_______;当时,的最大值为__________.
(2)当时,求的最小值.
(3)如图,四边形ABCD的对角线AC ,BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别为4和9,求四边形ABCD面积的最小值.
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