Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转°（0°＜＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，

①当=_______°时，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）①45或90；②和；和

【解析】

（1）根据平行四边形的判断方法即可解决问题；
（2）①分两种情形分别解决问题即可；
②分两种情形讨论求解即可；

解：（1）当α＝90°，四边形ABEF是平行四边形；
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝∠AOF＝90°，
∴AB∥EF，

∵平行四边形ABCD
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
故答案为：90°．
（2）①当α＝45°或90°时，四边形BEDF是菱形．

当α＝45°时
∵AD∥BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵∠FOD＝∠BOE，OD＝OB，
∴△FDO≌△EBO，
∴DF＝BE，

∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OA＝OC＝2，AB＝2，
∴AB＝OA，
∴∠AOB＝45°，
∴∠BOF＝45°＋45°＝90°，
∴BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形．
当α＝90°时，同法可证四边形AFCE是菱形．

故答案为：45°或90°．
②∵AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝2，

当EF＝AC时，四边形AECF是矩形，对角线AC＝4，过A点作AE⊥BC于BC,过点C作CF⊥AD于F，如图1，

∴△AEB∽△BAC

∴

∴AE2+BE2=AB2

∴BE=，AE=

∴EC=BC-BE=

过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥BC于E，

此时四边形BEDF是矩形，EF＝BD，如图2

同理可得：DA=BC=2，AF=，BF =，

∴BE=DF＝DA+FA=

矩形的边长为：和或和

故答案为：和或和