Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）2

【解析】

（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形BCDE是菱形；（2）连接AC，根据平行线的性质及角平分线的定义证得∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，即可得AB＝BC＝2，根据锐角三角函数的定义求得∠ADB＝30°，所以∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，即可求得AC＝2．

（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，

∴DE＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）连接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝2，

∵AD＝2BC＝4，

∴sin∠ADB＝，

∴∠ADB＝30°，

∵四边形BCDE是菱形．

∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，

在Rt△ACD中，∵AD＝4，

∴AC＝2．