精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图,已知线段AB=10,点C在线段AB上,⊙A、⊙B的半径分别为AC、BC,D是⊙B上一点,AD交⊙A于E,EC的延长线交⊙B于F.
(1)求证:BF∥AD;
(2)若BD⊥AD,AC=x,DF=y,求y与x的函数关系式,写出定义域.
(3)在(2)的条件下,点C在线段AB上运动的过程中,DF是否有可能与AB垂直?如果有可能请求出AC的长;如果没有可能,请说明理由.

(1)证明:∵E、C在⊙A上,F、C在⊙B上,
∴AE=AC,BC=BF(1分)
∴∠AEC=∠ACE,∠BCF=∠BFC(1分)
∵∠ACE=∠BCF
∴∠AEC=∠BFC(1分)
∴BF∥AD(1分)

(2)解:∵BD⊥AD,BF∥AD
∴∠ADB=∠DBF=90°(1分)
∵AB=10,AC=x
∴BC=10-x(1分)
∴BD=BF=BO=10-x
∵DF=y(1分)
∴DF2=BD2+BF2
∴y2=2(10-x)2,y=(10-x)(0<x<10)(3分)

(3)解:假设DF与AB垂直,∵BD=BF
∴∠DBA=∠BDF=45°(1分)
∵∠ADB=∠DBF=90°BD=BD
∴△ABD≌△FDB(1分)
∴AB=DF10=(10-x)
解得:x=10-5(2分)
当AC的长为10-5时DF与AB垂直.
分析:(1)利用圆的半径相等可以得到相等的角,进而利用平行线的判定定理判定两线段平行;
(2)利用勾股定理可以得到DF2=BD2+BF2,从而得到两个变量之间的函数关系.
(3)假设DF与AB垂直,证得△ABD≌△DBF,解得x的值即可.
点评:本题考查了全等三角形的判定及性质及勾股定理的应用,综合性强,难度较大,同学们要细心作答.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知,如图:已知线段AB,点C在AB的延长线上,AC=
5
3
BC,D在AB的反向延长线上,BD=
3
5
DC.精英家教网
(1)在图上画出点C和点D的位置;
(2)设线段AB长为x,则BC=
 
;AD=
 
;(用含x的代数式表示)
(3)若AB=12cm,求线段CD的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知线段AB=10cm,点C是AB上任一点,点M、N分别是AC和CB的中点,则MN的长度为(  )
精英家教网
A、6cmB、5cmC、4cmD、3cm

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知线段AB,按下列要求作图:分别以A、B为圆心,大于
12
AB
的相同长度为半径画弧,设两段弧在AB上方的交点为M,连接AM,延长AM到C,使得AM=MC,连接BC(只要保留作图痕迹).根据所作图形,求证:∠ABC=90°.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知线段AB和CD相交于点O,线段OA=OD,OC=OB,求证:△OAC≌△ODB.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知线段AB,延长AB至C,使得BC=
1
2
AB,若D是BC的中点,CD=2cm,则AC的长等于(  )
A、4cmB、8cm
C、10cmD、12cm

查看答案和解析>>

同步练习册答案