Question

如图，已知线段AB=10，点C在线段AB上，⊙A、⊙B的半径分别为AC、BC，D是⊙B上一点，AD交⊙A于E，EC的延长线交⊙B于F．
（1）求证：BF∥AD；
（2）若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y与x的函数关系式，写出定义域．
（3）在（2）的条件下，点C在线段AB上运动的过程中，DF是否有可能与AB垂直？如果有可能请求出AC的长；如果没有可能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵E、C在⊙A上，F、C在⊙B上，
∴AE=AC，BC=BF（1分）
∴∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC（1分）
∵∠ACE=∠BCF
∴∠AEC=∠BFC（1分）
∴BF∥AD（1分）

（2）解：∵BD⊥AD，BF∥AD
∴∠ADB=∠DBF=90°（1分）
∵AB=10，AC=x
∴BC=10-x（1分）
∴BD=BF=BO=10-x
∵DF=y（1分）
∴DF²=BD²+BF²
∴y²=2（10-x）²，y=（10-x）（0＜x＜10）（3分）

（3）解：假设DF与AB垂直，∵BD=BF
∴∠DBA=∠BDF=45°（1分）
∵∠ADB=∠DBF=90°BD=BD
∴△ABD≌△FDB（1分）
∴AB=DF10=（10-x）
解得：x=10-5（2分）
当AC的长为10-5时DF与AB垂直．
分析：（1）利用圆的半径相等可以得到相等的角，进而利用平行线的判定定理判定两线段平行；
（2）利用勾股定理可以得到DF²=BD²+BF²，从而得到两个变量之间的函数关系．
（3）假设DF与AB垂直，证得△ABD≌△DBF，解得x的值即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质及勾股定理的应用，综合性强，难度较大，同学们要细心作答．