Question

15．如图，直线y=-x+3与x轴y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求此抛物线的函数关系式，直接写一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．
（2）试在抛物线的对称轴上找一点E，在抛物线上找一点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出此时E、F点的坐标．
（3）在抛物线上是否存点P，使得以P为圆心的圆与直线x=2和x轴都相切？如果存在求出P点的坐标，如果不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线解析式求出点B、C的坐标，再根据顶点式求二次函数解析式解答即可；
（2）求出AB的长度，再根据平行四边形对边平行且相等分两种情况求出点F的横坐标，然后代入抛物线解析式求出点F的纵坐标，即可得解；
（3）利用则当|2-x|=|y|时，⊙P与直线x=2及x轴相切，分别求出符合题意的答案．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴y轴分别交于点B、C，
∴当x=0时，y=3，y=0时，x=3，
∴点B（3，0）、交y轴于点C（0，3），
根据抛物线对称轴是直线x=2，设其关系式为：y=a（x-2）²+h，
由抛物线过点B（3，0）、C（0，3）得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+h=0}\\{4a+h=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{h=-1}\end{array}\right.$，
所以：y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
由B（3，0）、A关于直线x=2对称知A（1，0），
得 0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；

（2）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴EF=AB=2，
①当点F在对称轴左侧时，点F的横坐标为2-2=0，
所以，点F与点C重合，坐标为（0，3），此时E（2，3）；
②点F在对称轴右侧时，点F的横坐标为2+2=4，
代入抛物线解析式得，y=4²-4×4+3=3，
所以，点F的坐标为（4，3），此时E（2，3）；
③当AB为对角线时，点F与P重合此时F点的坐标为F（2，-1），此时E（2，1）．
综上所述，E（2，3）、F（0，3）或E（2，3）、F（4，3）或E（2，1）、F（2，-1）时，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

（3）设P（x，y），则当|2-x|=|y|时，⊙P与直线x=2及x轴相切．
①2-x=x²-4x+3时，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，y=2-x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或y=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
则点P的坐标为（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）；
②-（2-x）=x²-4x+3时，
解得：x=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，点P（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题型、二次函数的对称性、平行四边形的对边平行且相等的性质等知识，利用分类讨论求出符合题意的答案是解题关键．