Question

26．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）试用勾股定理解决以下问题：

如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）²=a²﹣4ab+4b²，画在下面的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．

Answer 1

考点：

勾股定理的证明；完全平方公式的几何背景；勾股定理．.

专题：

计算题．

分析：

（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；

（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；

（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

解答：

解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a²+ab+b²，

也利用表示为ab+c²+ab，

∴a²+ab+b²=ab+c²+ab，即a²+b²=c²；

（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，

∴斜边为5，

∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h，

∴h=；

（3）∵图形面积为：（a﹣2b）²=a²﹣4ab+4b²，

∴边长为a﹣2b，

由此可画出的图形为：

故答案为：（2）．

点评：

此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．