Question

28、如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线AD与三角形的外接圆交于点D，AC、BD相交于点P．
求证：（1）△DBC为等腰三角形；
（2）AB：BD=PB：PC．

Answer 1

分析：（1）欲证△DBC为等腰三角形，需证∠DCB=∠DBC，根据圆周角定理可证∠DAC=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可证∠EAD=∠DCB，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得证．
（2）根据相似三角形的判定，由∠BAP=∠CDP，∠APB=∠DPC，可证△ABP∽△DCP，得到AB：DC=PB：PC，又由（1）知BD=DC可证AB：BD=PB：PC．

解答：证明：（1）∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，（1分）
∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠EAD=∠DCB，（2分）
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴△DBC为等腰三角形．（3分）

（2）在△ABP和△DCP中，
∵∠BAP=∠CDP，∠APB=∠DPC，
∴△ABP∽△DCP，（4分）
∴AB：DC=PB：PC，（5分）
∵△DBC为等腰三角形，
∴BD=DC，
∴AB：BD=PB：PC．（6分）

点评：本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，难度适中．