Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦.过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD.

(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长.

Answer 1

（1）相切；证明见解析；（2）.

试题分析：（1）通过分析，直线与圆O已经有一个公共点，连接半径0C，只要证明OC⊥PC即可；（2）根据AD是切线和AD∥BC证明AP⊥BC，利用垂径定理计算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定义计算出AM的长，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程计算出圆O的半径的长，最后证明△OMC～△OCP，利用相似三角形的对应边成比例计算出PC的长.
试题解析：(1) 直线PC与圆O相切.
连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN.
∵AB//CD，
∴ÐBAC=ÐACD.
∵ÐBAC=ÐBNC，
∴ÐBNC=ÐACD.
∵ÐBCP=ÐACD，
∴ÐBNC=ÐBCP.
∵CN是圆O的直径，
∴ÐCBN=90°.
∴ÐBNC+ÐBCN=90°，
∴ÐBCP+ÐBCN=90°.
∴ÐPCO=90°，即PC^OC.
又∵点C在圆O上，
∴直线PC与圆O相切.

(2) ∵AD是圆O的切线，
∴AD^OA，即ÐOAD=90°.
∵BC//AD，
∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC.
∴MC=MB.
∴AB=AC.
在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，
由勾股定理，得AM===6.
设圆O的半径为r.
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，
∴(6-r)²+3²=r².
解得r=.
在△OMC和△OCP中，
∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP.
∴=，即 =.
∴PC=.