Question

如图所示，已知直线y=

1

2

x与抛物线y=ax²+b（a≠0）交于A（-4，-2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的

3

4

？若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A、B的坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）若等腰△MAB以AB为底边，则M必为AB的垂直平分线与抛物线的交点；根据A、B的坐标，易求出其中点的坐标，进而可求出其垂直平分线的解析式，联立抛物线的解析式即可得到M点的坐标；
（3）由于△BAC与△PAC同底不等高，那么它们的面积比等于底边的比，可过B作BF⊥AC，求出△ABC的面积后即可得到BF的长；可在BF上截取BK=

1

4

BF，那么P点必为过K点且平行于AC的直线与抛物线的交点；可分别过A、F作y轴的垂线，设垂足为G、H，求出∠GAC、∠HFC的度数，从而可得到∠BNx的度数，而BN的长求得，即可得出NK的值，从而求出K点的坐标；易求出直线AC的解析式，由于过K的直线与AC平行，那么它们的斜率相同，由此可求出直线KP的解析式，联立抛物线的解析式即可求得P点的坐标．

解答：解：（1）由题意，得：

16a+b=-2 36a+b=3

，
解得

a= 1 4 b=-6

；
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²-6；

（2）如图1，取AB的中点E，则E（1，

1

2

）；过E作直线l垂直于AB；
∵直线AB的解析式为：y=

1

2

x，∴可设直线l的解析式为y=-2x+b；
∵直线l过E（1，

1

2

），则有：

1

2

=-2+b，b=

5

2

；
∴直线l的解析式为：y=-2x+

5

2

；联立抛物线的解析式有：

y= 1 4 x2-6 y=-2x+ 5 2

，
解得

x=-4+5 2 y= 21 2 -10 2

，

x=-4-5 2 y= 21 2 +10 2

∴M（-4+5

2

，

21

2

-10

2

）或（-4-5

2

，

21

2

+10

2

）；

（3）过B作BF⊥AC于F，交x轴于N；
过F作FH⊥y轴于H，过A作AG⊥y轴于G；
在BF上截取BK=

1

4

BF；
∵A（-4，-2），B（6，3），C（0，-6）
∴S_△ABC=

1

2

OC×|x_B-x_A|
=

1

2

×6×10=30；
Rt△AGC中，AG=CG=4，则∠GAC=∠HFC=45°，AC=4

2

；
∵∠BFC=90°，
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°；
易知BN=3

2

，BK=

1

4

BF=

1

4

×

2S△ABC

AC

=

1

4

×

2×30

4 2

=

15 2

8

；
∴NK=BN-BK=

9 2

8

；
由于∠BNx=45°，可求得K（

33

8

，

9

8

）；
易知直线AC的解析式为：y=-x-6，过K作直线m平行于AC，可设直线m的解析式为：y=-x+h，则：
-

33

8

+h=

9

8

，h=

21

4

；
∴直线m的解析式为y=-x+

21

4

；
由于△ABC与△PAC等底不等高，
则面积比等于高的比，由于KF=

3

4

BF，那么P点必为直线m与抛物线的交点，联立直线m与抛物线的解析式可得：

y=-x+ 21 4 y= 1 4 x2-6

，
解得

x=5 y= 1 4

，

x=-9 y= 57 4

；
∴P点的坐标为（5，

1

4

）或（-9，

57

4

）．

点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、函数图象交点、三角形面积的求法等重要知识点，综合性强，难度较大．