Question

关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当方程有两个不相等的整数根时，求k的正整数值．

Answer 1

考点：根的判别式,一元一次方程的解

专题：证明题

分析：（1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x₁=-

1

k

，x₂=-3，根据整数的整除性可得到k为正整数1．

解答：（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当k≠0时，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有两个实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：根据题意得k≠0且△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，
∴x₁=-

1

k

，x₂=-3，
当k为正整数1时，方程有两个不相等的整数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．