Question

18．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴的交点分别为B，C，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求点B，C的坐标．
（2）尺规作图，作点D，使A，B，C，D是构成菱形的四个顶点．并写出点D的坐标．
（3）若E（0，a）是平面直角坐标系上的定点，a=$\sqrt{4-n}$，a，n均为非负整数，点P是直线BD上的动点，求当CP+EP取得最小值时，点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出x=0时y的值，求出y=0时x的值，求出B、C的坐标；
（2）先求出AB，BC，AC，判断出AC只能是菱形的对角线，再利用基本作图即可画出图象，最后利用菱形的性质求出点D的坐标；
（3）先求出直线BD的解析式和a的值，进而确定出点E的坐标，连接CE与直线BD的交点，就是点P，最后利用求两直线的交点坐标的方法即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4），当y=0时，0=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=3，
∴B（3，0）；

（2）如图1，由（1）知，B（3，0），C（0，4），
∴BC=5，
∵A（-2，0），
∴AB=5，
∴AB=BC=5，
∵A（-2，0），C（0，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=BC≠AC，
∵使A，B，C，D是构成菱形的四个顶点，
∴只有AC是以A，B，C，D为顶点的菱形的对角线，
作法：1、分别以点A，C为圆心大于$\frac{1}{2}$AC为半径画弧，两弧相交于一点G，
2、过点G，B作直线BG交AC于E，
3、以E为圆心，BE为半径画弧交BE的延长线于D，
4、连接CD，AD，
即：点D为所求作的点；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD=AB=5，
∴D（-5，4）；

（3）如图2，由（2）知，D（-5，4），B（3，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{9}}\\{b=\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$，
∵a=$\sqrt{4-n}$，a，n均为非负整数，
∴a=2，n=0或a=0，n=4，
当a=0时，E（0，0），即：点E和点O重合，
∵CP+EP取得最小值，
∴点P是直线BD与y轴的交点，
∴P（0，$\frac{16}{9}$）；
当a=2时，E'（0，2），
∵CP+EP取得最小值，
∴连接CE'交直线BD于点P'，
∵C（0，4），
∴直线CE'的解析式为y=-2x+4①，
∵直线BD的解析式为y=-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$②，
联立①②解得x=$\frac{10}{7}$，y=$\frac{8}{7}$，
∴P'（$\frac{10}{7}$，$\frac{8}{7}$），
∴满足条件的点P的坐标为（0，$\frac{16}{9}$）或（$\frac{10}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，菱形的性质，基本作图，直线的交点坐标的求法，解（2）的关键是判断出以点A，B，C，D为顶点的菱形时，AC只能是菱形的对角线，解（3）的关键是求出直线CE的解析式．