Question

6．如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=3x+3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标即可；
（2）根据A，C坐标，设出抛物线解析式，将C坐标代入即可确定出解析式；
（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，并求出最小值即可；
（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，分四种情况考虑，求出满足题意Q坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-1，
则A（-1，0），B（0，3）；  
（2）由A（-1，0），C（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把B（0，3）代入得：3=-3a，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，由对称性得AP=CP，如图1所示，此时△ABP周长最小，

由抛物线解析式y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得到对称轴为直线x=1，
设直线BC解析式为y=mx+n，
将B（0，3），C（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，n=3，即直线BC解析式为y=-x+3，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即P（1，2），
根据两点间的距离公式得：AB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（0-3）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则P（1，2），周长为AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，
如图2所示，分四种情况考虑：

当AB=AQ₁=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$时，
在Rt△AQ₁Q₃中，AQ₃=2，AQ₁=$\sqrt{10}$，
根据勾股定理得：Q₁Q₃=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，此时Q₁（1，$\sqrt{6}$）；
由对称性可得Q₂（1，-$\sqrt{6}$）；
当AB=BQ₃时，可得OQ₃=OA=1，此时Q₃（1，0）；
当AQ₄=BQ₄时，Q₄为线段AB垂直平分线与对称轴的交点，
∵A（-1，0），B（0，3），
∴直线AB斜率为$\frac{0-3}{-1-0}$=3，中点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴线段AB垂直平分线方程为y-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{3}$（x+$\frac{1}{2}$），
令x=1，得到y=1，此时Q₄（1，1），
综上，Q的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，1）．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，线段垂直平分线定理，勾股定理，以及对称的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．