Question

6．如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可求得AE=$\frac{1}{2}$AD，可求得∠DAB=60°，则可求得∠ABC；
（2）连接BD，交AC于点O，可知BD=AB，可求得BO，在Rt△ABO中，可求得AO，则可求得AC；
（3）由（2）可求得BD和AC，由面积公式可求得菱形ABCD的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AD∥BC，
∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°；
（2）如图，连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2a，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=a，
在Rt△ABO中，AB=2a，OB=a，
∴AO=$\sqrt{3}$a，
∴AC=2AO=2$\sqrt{3}$a；
（3）由（2）可知BD=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$a×2a=2$\sqrt{3}$a²．

点评 本题主要考查菱形的性质和面积，掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分是解题的关键．注意菱形两个面积公式的灵活运用．