Question

20．解方程．
（1）x²-2$\sqrt{5}$x=1；
（2）3x（x-1）=-x（x-1）+1；
（3）$\frac{2}{x}$+1=$\frac{2}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）首先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x═$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$求解即可；
（2）将原方程化为一般式，然后再找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x═$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$求解即可；
（3）观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答 解：（1）x²-2$\sqrt{5}$x=1，
x²-2$\sqrt{5}$x-1=0，
a=1，b=-2$\sqrt{5}$，c=-1，
△=b²-4ac=20+4=24，
x=$\frac{2\sqrt{5}±2\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{5}$±$\sqrt{6}$，
则：x₁=$\sqrt{5}$-$\sqrt{6}$，x₂=$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$；
（2）3x（x-1）=-x（x-1）+1，
3x²-3x=-x²+x+1，
4x²-4x-1=0，
a=4，b=-4，c=-1，
△=b²-4ac=16+16=32，
x=$\frac{4±4\sqrt{2}}{8}$=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
则：x₁=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（3）$\frac{2}{x}$+1=$\frac{2}{x-1}$方程的两边同乘x（x-1），得
2（x-1）+x（x-1）=2x，
2x-2+x²-x=2x，
x²-x-2=0，
（x-2）（x+1）=0，
解得x₁=2，x₂=-1．
检验：把x₁=2，x₂=-1代入x（x-1）都不等于0．
故原方程的解为：x₁=2，x₂=-1．

点评 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．同时考查了解分式方程．