Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCD的顶点坐标是A（0，0），C（6，4），E（5，0）．将矩形纸片沿直线l折叠，设A′是点A落在矩形CD边上的对应点，点A′的横坐标为2．直线l与x轴、y轴的交点分别为E、F．
（1）求直线l的解析式；
（2）点P从点E出发，沿射线EF运动，速度为

5

个单位每秒，点Q从点O出发，沿OE向终点E运动，速度为1个单位每秒，当点Q停止时点P也随之停止运动．设运动时间为t，在P、Q运动的过程中，当直线PQ∥A′E时，求此时PQ的长；
（3）在（2）的条件下，∠PQC=90°？若能，请求出t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设OF=x，则DF=4-x，A'F=OF=x，在直角△A'DF中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即F的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）作A'F⊥x轴于点F，根据△OEF∽△HEP，即可利用t表示出PH和EH的长，然后利用△A'FE∽△PHQ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得t的值；
（3）作PH⊥x轴于点H，交CD于点G，利用t表示出PQ、PC、CQ的值，当PQ²+QC²=PC²，时有∠PQC=90°，据此即可列方程求得t的值．

解答：解：（1）设OF=x，则DF=4-x，A'F=OF=x，
在直角△A'DF中，DF²+D'A²=A'F²，即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=

5

2

，
则F的坐标是（0，

5

2

），
设直线l的解析式是y=kx+b，则

4k+b=0 b= 5 2

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
则直线的解析式是：y=-

1

2

x+

5

2

；
（2）作A'F⊥x轴于点F，则A'F=4EF=5-2=3，
作PH⊥x轴于点H．EF=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，
则△OEF∽△HEP，
∴

PH

OF

=

EH

OE

=

PE

EF

，即

PH

5 2

=

EH

5

=

5 t

5 5 2

=

2t

5

，
则PH=t，EH=2t，
则HQ=3t-5，
当∠PQH=∠A'EH时，即△A'FE∽△PHQ时，PQ∥A′E，
则

PH

A′F

=

HQ

EF

，即

t

4

=

3t-5

3

，
解得：t=

20

9

；
∵△A'FE∽△PHQ，
∴

PQ

A′E

=

HQ

HE

=

20 3 -5

40 9

=

3

8

，
则PQ=

3

8

A'E=

3

8

×5=

15

8

；
（2）作PH⊥x轴于点H，交CD于点G．
OQ=t，则BQ=6-t，在直角△BCQ中，CQ²=16+（6-t）²=t²-12t+52，
同（1）可得PH=t，EH=2t，
则PG=4-t，OH=5-2t，则CG=6-（5-2t）=2t+1，
在直角△PCG中，PC²=PG²+CG²=（（4-t）²+（2t+1）²=5t²-4t+17，
OH=OQ+HE-OE=t+2t-5=3t-5，
则HQ=t-（3t-5）=5-2t，
在直角△PHQ中，PQ²=HQ²+PH²=（5-2t）²+t²=5t²-10t+25，
当∠PQC=90°时，PQ²+QC²=PC²，
∴（5t²-10t+25）+（t²-12t+52）=5t²-4t+17，
即t²-18t+60=0，
解得：t=9+

21

（舍去），或9-

21

．
故t=9-

21

．

点评：本题是一次函数求解析式，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的性质定理，正确根据相似三角形的性质，利用t表示出图中的线段长是关键．