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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （1）如图1，小明画了一个角∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC和BD交于点P，小明通过测量，发现不论怎样变换点A、B的位置，∠APB的度数不发生改变，一直都是130°，请你解释其中的原因．

    （2）小明想明白后，又开始考虑图2中的问题：△AOB的内角平分线AC和外角平分线BD所构成的∠C是不是也与∠AOB有特数的关系呢？如果∠AOB=n°，那么∠C是多少度呢？请说明理由．
    分析：（1）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理，即可证明∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA），即可求解；
    （2）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可证明∠C=
    1
    2
    （∠ABY-∠BAC），从而求解．
    解答：解：（1）∵△ABC的角平分线AC与BD交于点P，
    ∴∠PAB=
    1
    2
    ∠BAO，∠PBA=
    1
    2
    ∠ABO，
    ∴∠PAB+∠PBA=
    1
    2
    ∠BAO+
    1
    2
    ∠ABO=
    1
    2
    （∠BAO+∠ABO），
    ∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
    ∴∠PAB+∠PBA=
    1
    2
    （180°-∠AOB）=
    1
    2
    ×100°=50°，
    ∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-50°=130°．

    （2）∠C=
    1
    2
    n°．
    ∵AC是△AOB的角平分线，BD是外角平分线，
    ∴∠BAC=
    1
    2
    ∠BAO，∠DBA=
    1
    2
    ∠ABY，
    ∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∠DBA+∠ABC=180°，
    ∴∠DBA=∠C+∠BAC，
    ∴∠C=∠DBA-∠BAC=
    1
    2
    ∠ABY-
    1
    2
    ∠BAC=
    1
    2
    （∠ABY-∠BAO），
    又∵∠AOB+∠BAO+∠ABO=180°，∠ABY+∠ABO=180°，
    ∴∠ABY=∠AOB+∠BA0，
    ∴∠C=
    1
    2
    （∠ABY-∠BAC）=
    1
    2
    ∠AOB=
    1
    2
    n°．
    点评：本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
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    22.5°
    22.5°
    ．

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