Question

【题目】阅读理解与应用:对式子x2+2x－3变形如下：x2+2x－3=x2+2x+1－1－3=(x2+2x+1)－4=(x+1)2－4．像这种变形抓住了完全平方公式的特点，先在原式中添加一项，使其中的三项成为完全平方式，再减去添加的这项，我们把这种恒等变形叫配方. 配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法，它的应用十分广泛.请你尝试解决下列问题：

(1)对式子x2－2x+2020进行配方；

(2)已知2y－2x2－8x=y+10，求y的最小值；

(3)如图，在足够大的空地上有一段长为a(a≥250)米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个长方形菜园ABCD，其中 AD≤MN，已知长方形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏. 求长方形菜园ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (x-1)2+2019；(2) y的最小值为2；(3) 长方形菜园ABCD面积的最大值为1250平方米.

【解析】

(1)根据材料中给出的配方法进行配方即可求得答案；

(2)先用含x的式子表示y，然后根据配方法得到y=2(x-2)2+2，再根据平方的非负性即可求得答案；

(3)设AB为x，长方形的面积为S，根据长方形面积公式列出S与x的关系，继而利用配方法进行求解即可.

(1) x2－2x+2020

=x2-2x+1-1+2020

=(x-1)2+2019；

(2) 2y－2x2－8x=y+10，

2y-y=2x2-8x-10，

y=2(x2-4x+4-4)+10

=2(x-2)2+2，

∵(x-2)2≥0，

∴y=2(x-2)2+2≥2，

∴y的最小值为2；

(3) 设AB为x，长方形的面积为S，则有

S=x(100-2x)

=-2x2+100x

=-2(x2-50x+625-625)

=-2(x-25)2+1250，

因为(x-25)2≥0，

所以-2(x-25)2≤0，

所以S=-2(x-25)2+1250≤1250，

即长方形菜园ABCD面积的最大值为1250平方米.