Question

【题目】下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．

已知：⊙O及⊙O外一点P．

求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．

作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，

交OP于点A；

②以A为圆心，AO为半径作圆，

交⊙O于点M；

③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．

根据小芸设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接OM，

由作图可知，A为OP中点，

∴OP为⊙A直径，

∴∠OMP＝　 　°，（　 　）（填推理的依据）

即OM⊥PM．

又∵点M在⊙O上，

∴PM是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据）

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）按要求作图.

（2）根据圆直径的性质、切线的判定定理进行证明即可.

解：（1）补全图形，如图所示：

（2）证明：连接OM，

由作图可知，A为OP中点，

∴OP为⊙A直径，

∴∠OMP＝90°，（直径所对的圆周角是直角），

即OM⊥PM．

又∵点M在⊙O上，

∴PM是⊙O的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．