Question

4．如图，在正方形ABCD中，AB=1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE=CF，联结EF交对角线AC于点G．
（1）求证：DE=DF；
（2）联结DG，求证：DG⊥EF；
（3）设AE=x，AG=y，求y关于x的函数解析式及定义域．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质就可以得出AD=CD，∠BAD=∠DCF=90°，再由SAS就可以得出结论；
（2）过点F作FH∥AB与AC的延长线交于点H，得到∠BAC=∠H，∠B=∠BFH，利用正方形ABCD的性质，证明∠H=∠HCF=45°，从而得到HF=CF，再证明△AEG≌△HFG，得到EG=FG，根据DE=DF，利用等腰三角形“三线合一”的性质，即可解答．
（3）根据△AEG≌△HFG，得到AG=HG，由AE=x，AG=y，得到HF=CF=x，HG=y，再利用勾股定理，求出CH，AC，表示出CG，根据GH=CG+CH，即可解答．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，
AD=DC，∠BAD=∠DCB=90°．
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠BAD=∠DCB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△AED≌△CFD，
∴DE=DF．
（2）如图，过点F作FK∥AB与AC的延长线交于点K，

∴∠BAC=∠K，∠B=∠BFK．
在正方形ABCD中，AC是对角线，
∴∠BAC=45°，∠B=90°，
∴∠K=45°，∠BFK=90°，
∴∠K=∠KCF=45°，
∴KF=CF，
∵AE=CF，
∴KF=AE．
在△AEG和△HFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠K}\\{∠AGE=∠FGK}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△KFG．
∴EG=FG．
∵DE=DF
∴EF⊥DG．
（3）∵△AEG≌△KFG，
∴AG=KG．
∵AE=x，AG=y，
∴KF=CF=x，KG=y．
在Rt△CKF中，$CK=\sqrt{2}x$．
同理：$AC=\sqrt{2}$，
∴$CG=\sqrt{2}-y$．
∵GK=CG+CK，
∴$y=\sqrt{2}-y+\sqrt{2}x$，
∴$y=\frac{{\sqrt{2}x+\sqrt{2}}}{2}$，
定义域：0＜x＜1．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质定理、勾股定理，解答时证明三角形全等是关键．