Question

21、已知关于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b²-4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．

解答：解：（1）∵△=[2（k-1）]²-4（k²-1）
=4k²-8k+4-4k²+4=-8k+8，
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-8k+8＞0，
解得k＜1，
即实数k的取值范围是k＜1；

（2）假设0是方程的一个根，
则代入原方程得0²+2（k-1）•0+k²-1=0，
解得k=-1或k=1（舍去），
即当k=-1时，0就为原方程的一个根，
此时原方程变为x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
所以它的另一个根是4．

点评：总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．