Question

如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）若

a

b

=

3

4

，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求AD长．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理可求得a+b、ab的值，然后证a²+b²=c²，由勾股定理来判定△ABC是直角三角形；
（2）可根据a、b的比例关系，用未知数设出a、b的长，进而可表示出c的值；由韦达定理知：a+b=c+4，由此可求得未知数的值，进而可求出a、b、c的值，也就得出了AB的长．
（3）欲求AD，需先求出BD；可过C作CE⊥BD于E，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，在Rt△BCE中，根据勾股定理，可求出BE的值；由垂径定理知BD=2BE，由此可求出BD的长，由此得解．

解答：（1）证明：依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形．（3分）

（2）解：设a=3k，b=4k，从而c=5k（k＞0）．
代入a+b=c+4，得k=2；
∴a=6，b=8，c=10．（5分）

（3）解：过C作CE⊥AB于E．
则CE=

ab

c

=

24

5

，BE=

BC2-CE2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

；
由垂径定理，得BD=2BE=

36

5

；
故AD=10-BD=10-7.2=2.8．（9分）

点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形的判定和性质、垂径定理等知识．