Question

2．如图，已知A，B，C，D，E五点的坐标分别为（1，2），（3，2），（4，3），（2，6），（3，5）．如果点F在第-象限内，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，那么点F的坐标为（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

Answer 1

分析 设点F的坐标是（x，y）．分类讨论：①△FDE≌△ABC，利用两点间的距离公式列出关于x、y的二元一次方程组，通过解方程组即可求得点F的坐标；
②当△FED≌△ABC时，利用两点间的距离公式列出关于x、y的二元一次方程组，通过解方程组即可求得点F的坐标

解答 解：设点F的坐标是（x，y）．
∵A（1，2），B（3，2），C（4，3），D（2，6），E（3，5），
∴AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，DE=$\sqrt{2}$；
①当△FDE≌△ABC时，FE=AC=$\sqrt{10}$，DF=BA=2，则有$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=4}\\{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴F₁（2，8），F₂（0，6）；
②当△FED≌△ABC时，FE=AB=2，FD=AC=$\sqrt{10}$，则$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F₃（5，5），F₄（3，3）；
综上所述可知点F的坐标为（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．
故答案为：（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质、坐标与图形性质．解答该题时，采用“分类讨论”的数学思想，以防漏解．