Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E。

（1）求AC、BC的长；
（2）若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积（取3.14）。

Answer 1

解：（1）连接OD、OE，

∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°。
∵OE=OD=2，∴四边形CDOE是正方形。
∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°。
设AD=x，
∵AC+BC=9，∴。
∵∠OEB=∠C=90°，∴OE∥AC。
∴∠EOB=∠A。
∴△OEB∽△ADO。
∴，即，解得，x=1或4。
∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3。
（2）∵AC=3，AD=3－1=2，BC=6，
∴阴影部分的面积
。

（1）连接OD、OE，得出四边形CDOE是正方形，推出CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，设AD=x，求出，证△OEB∽△ADO，得出，代入求出x即可。
（2）求出AC=3，AD=3－1=2，BC=6，根据阴影部分的面积代入求出即可。