Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD的延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为点G，连接AG交CD于点K．

（1）求证：△EKG是等腰三角形；

（2）若KG2＝KDGE，求证：AC∥EF；

（3）在（2）的条件下，若tanE＝，AK＝2，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OG，证得∠KGE=∠AKH=∠GKE，可得KE=GE．则结论得证；
（2）连接GD，证明△GKD∽△EGK．得出∠E=∠AGD．则∠E=∠C，结论得证；
（3）连接OG，OC，设AH=3t，CH=4t，则AC=5t．由勾股定理得出(3t)2+t2＝(2)2，解得t=2，则AH=6，CH=8．⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-6，CH=8，由勾股定理得出（r-6）2+82=r2，解得r=．求出OG，可求出FG的长．

（1）证明：如图1，连接OG，

∵EG为⊙O的切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°．
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG．
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∴△EKG是等腰三角形．
（2）证明：如图2，连接GD，

∵KG2=KDGE，
∴．
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK．
∴∠E=∠AGD．
又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C．
∴AC∥EF．
（3）解：如图3，连接OG，OC，

由tanE=tan∠ACH=，可设AH=3t，CH=4t，则AC=5t．
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即(3t)2+t2＝(2)2，
解得t=2或t=-2（不合题意，舍去）．
∴AH=6，CH=8．
设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-6，CH=8，
由勾股定理得OH2+CH2=OC2，
即（r-6）2+82=r2，
解得r=．
∵EF为⊙O的切线，
∴△OGF为直角三角形．
在Rt△OGF中，OG=r=，
∵tan∠OFG=tan∠CAH= ，

∴FG＝．