Question

观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？

Answer 1

分析：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，首先由题意推出四边形AEDF为平行四边形，然后根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠EAD=∠FDA，∠EAD=∠FAD，通过等量代换求出∠FAD=∠FDA，确定AF=DF后，即可推出结果；
（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，首先根据（1）所推出的结论四边形AEDF为菱形，通过正方形的判定定理（一个内角为直角的菱形为正方形），即可推出结论．

解答：解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF为菱形；

（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF为正方形．

点评：本题主要考查菱形的判定定理计正方形的判定定理，平行四边形的判定定理及性质，平行线的性质等知识点的综合运用．（1）小题关键在于通过求证相等的角，确定AF=DF；（2）小题关键在于确定根据正方形的判定定理确定∠BAC=90°这一条件．