Question

11．如图1，直线y=-3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-4）²+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．
（1）则a=$\frac{1}{2}$，k=-2；（直接填空）
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD的面积分为3：5的两个部分，试求这条直线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由一次函数解析式求得点A、B的坐标，然后将其代入所求的二次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得a、k的值；
（2）过点B作BE⊥抛物线的对称轴于点E．构建相似三角形：△BEP∽△PEA．利用相似三角形对应边成比例和坐标与图形的性质来求点P的坐标；
（3）设过点A将四边形ABCD的面积分为3：5两部分的直线与BC交于点E．需要分类讨论：
①若S_{四边形ABCD}：S_△ABE=5：3，则S_△ACE=6，S_△ABE=6．所以E为BC的中点．所以易得点E的坐标为（3，3）．利用点A、E的坐标来求直线AE的解析式：
②若S_{四边形ABCD}：S_△ABE=3：5，S_△ACE=2，S_△ABE=10．所以BE：EC=5：1．过点E作EF⊥x轴于点F．则EF∥BO．由平行线分线段成比例得到点E坐标为（5，1）．利用点A、E的坐标来求直线AE的解析式．

解答 解：（1）如图1，∵直线y=-3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（2，0），B（0，6）．
把它们分别代入y=a（x-4）²+k，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=a（2-4）^{2}+k}\\{6=a（0-4）^{2}+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{k=-2}\end{array}\right.$．
故答案是：$\frac{1}{2}$；-2；

（2）如图2，过点B作BE⊥抛物线的对称轴于点E．
因为∠APB=90°，易得△BEP∽△PEA．
所以$\frac{AF}{EP}$=$\frac{PF}{BE}$．即AF•BE=EP•PF．
由（1）知抛物线顶点作为为（4，-2）．
所以AF=2，BE=4，EF=6．
设PF=x，则PE=6-x．
所以2×4=（6-x）x．
解得x₁=2，x₂=4．所以点P的坐标为（4，2）或（4，4）；

（3）易得S_△ACD=4，S_△ABC=12，所以S_{四边形ABCD}=16．
设过点A将四边形ABCD的面积分为3：5两部分的直线与BC交于点E．
①若S_{四边形ABCD}：S_△ABE=5：3，则S_△ACE=6，S_△ABE=6．
所以E为BC的中点．所以易得点E的坐标为（3，3）．
设直线AE的函数关系是为y=kx+b（k≠0）．则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以函数关系式为y=3x-6．
②若S_{四边形ABCD}：S_△ABE=3：5，S_△ACE=2，S_△ABE=10．所以BE：EC=5：1．
过点E作EF⊥x轴于点F．则EF∥BO．所以$\frac{OF}{OC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{5}{6}$，$\frac{EF}{OB}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{6}$．
因为OC=OB=6，所以OF=5，EF=1（也可以用EF=FC求解）．所以点E坐标为（5，1）．
设直线AE的函数关系是为y=kx+b（k≠0）．则有$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
所以函数关系式为：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$．
综上所述，符合条件的直线的函数关系式为：y=3x-6或y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键．解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解．