Question

5．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．
（1）求证△BCD是直角三角形；
（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO+∠CDB=180°，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式求顶点D的坐标，和与y轴的交点C的坐标，由勾股定理计算△BDC三边的平方，利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形；
（2）作辅助线，构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似，根据比例式表示出点P的坐标，利用待定系数法求直线BD的解析式，因为点P为线段BD上一点，代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标；
（3）同理求直线CD的解析式为：y=-x-3，由此表示点N的坐标为（a，-a-3），因为M在抛物线上，所以设M（x，x²-2x-3），根据同角的三角函数得：tan∠BDE=tan∠CMN=$\frac{1}{2}$，则$\frac{CN}{MN}=\frac{1}{2}$，
如图2，证明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程组解出即可；
如图3，证明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程组解出即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（0，-3），D（1，-4），
由勾股定理得：BC²=3²+3²=18，
CD²=1²+（4-3）²=2，
BD²=（3-1）²+4²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
即∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（2）作PQ⊥OC于点Q，
∴∠PQC=90°，
∵∠PCO+∠CDB=180°，
∠PCO+∠PCQ=180°，
∴∠CDB=∠PCQ，
∵∠PQC=∠BCD=90°，
∴△PCQ∽△BDC，
∴$\frac{PQ}{CQ}=\frac{BC}{DC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
∴PQ=3CQ，
设CQ=m，则PQ=3m，
设P（3m，-3-m），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0）、D（1，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=2x-6，
将点P的坐标代入直线BD：y=2x-6得：
-3-m=2×3m-6，
m=$\frac{3}{7}$，
∴3m=$\frac{9}{7}$，-3-m=-3-$\frac{3}{7}$=-$\frac{24}{7}$，
∴P（$\frac{9}{7}$，-$\frac{24}{7}$）；
  （3）∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠CMN=$\frac{BE}{DE}=\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CN}{MN}=\frac{1}{2}$，
同理可求得：CD的解析式为：y=-x-3，
设N（a，-a-3），M（x，x²-2x-3），
①如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，
则△MGN∽△NFC，
∴$\frac{MG}{FN}=\frac{NG}{FC}$=$\frac{MN}{NC}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{x-a}{3-a-3}=\frac{{x}^{2}-2x-3+a+3}{-a}$=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-a=-2a}\\{{x}^{2}-2x-3+a+3=-2a}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍），x₂=5，
当x=5时，x²-2x-3=12，
∴M（5，12），
②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，
∴△CFN∽△NGM，
∴$\frac{FC}{NG}=\frac{FN}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a+3-3}{x-a}$=$\frac{a}{a+3-（-{x}^{2}+2x+3）}$=$\frac{1}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-a=2a}\\{2a=a+3+{x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍），x₂=$\frac{7}{3}$，
当x=$\frac{7}{3}$时，y=x²-2x-3=-$\frac{20}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
综上所述，点M的坐标（5，12）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，还考查了勾股定理的逆定理、相似三角形的性质和判定，并掌握利用解析式表示点的坐标，根据已知条件列方程或方程组求出未知数的值，本题的第二问和第三问都是证明三角形相似解决问题．