Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，代入数值可得答案；
（3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，即可判断出两三角形相似．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3（a≠0）（1分）
根据题意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3（5分）；

（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）（2分）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE
=

1

2

AO•BO+

1

2

（BO+DF）•OF+

1

2

EF•DF
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=9；

（3）相似，如图，
BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

；
∴BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

∴BD²+BE²=20，DE²=20
即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE（2分）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．