Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为坐标原点. A、B两点的横坐标分别是方程

的两根，且cos∠DAB＝.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；

 

Answer 1

解：（1）解方程得，.

∴A（－2，0），B（6，0）. 

过D作DE⊥x轴于E， ∵D是顶点，

∴点E是AB的中点，∴E（2，0）.

在Rt△DAE中，∵cos∠DAB＝，∴∠DAE＝45°，

∴AE＝DE＝4，∴D（2，4）

（由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可）

∴抛物线的解析式为（或写成）. 

（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE＝45°得：

∠BAC＝45°，△ACG是等腰直角三角形.

∴设C（a，b）（显然a＞0，b＜0），

则b＝―a―2，即C（a，―a―2）

∵点C在抛物线上，∴―a―2＝―（a―2）²＋4

a²―8a―20＝0

解之得：a₁＝10，a₂＝－2（舍去）

∴C（10，－12）

设直线AC的方程为，代入A、C的坐标，得

   解之得：

∴直线AC的解析式为y＝―x―2.