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    9．（1）如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E．AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，求证：△AMN的周长=BC；
    （2）如图1所示，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E．AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，试判断△AMN的形状，并证明你的结论．
    （3）如图2所示，在△ABC中，若∠C=45°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，若AC=3$\sqrt{2}$，BC=9，求MN的长．

    分析 （1）由直线EM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长；
    （2）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又由AB的垂直平分线EM交BC于M，得出∠BAM=30°，即可得出∠AMN=60°，同理：∠ANM=60°，即可得出结论；
    （3）先利用NF是AC垂直平分线计算出CN，进而得出AN，进而得出BM=6-MN，最后用勾股定理即可得出结论．

    解答 解：（1）∵直线ME为线段AB的垂直平分线（已知），
    ∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
    又直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），
    ∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
    ∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），

    （2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
    ∴∠B=∠C=30°，
    ∵AB的垂直平分线交BC于点M，
    ∴AM=BM，
    ∴∠BAM=∠ABM=30°，
    ∴∠AMN=∠ABM+∠BAM=60°，
    同理：∠ANM=60°，
    ∴△AMN是等边三角形；

    （3）∵NF是AC的垂直平分线，
    ∴∠ANC=2∠CNF，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，AN=CN，
    在Rt△CFN中，∠C=45°，
    ∴∠CNF=∠C=45°，CN=$\sqrt{2}$CF=3，
    ∴∠ANC=90°，AN=3，
    ∵BC=9，
    ∴BN=BC-CN=6=BM+MN，
    ∴BM=6-MN，
    ∵ME是AB的垂直平分线，
    ∴AM=BM=6-MN，
    在Rt△AMN中，根据勾股定理得，（6-MN）2-MN2=9，
    ∴MN=$\frac{9}{4}$．

    点评 此题是三角形综合题，主要考查了垂直平分线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（2）的关键是利用三角形的外角得出∠AMN=60°，解（3）的关键是得出BM=6-MN，是一道基础题目．

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    ①依题意将图2补全；
    ②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．
    小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
    想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．
    想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．
    想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．
    …
    请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）

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    （3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，AB=8，求BE的长．

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