【题目】如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,使点P′在△ABC内,已知∠AP′B=135°,若连接P′C,P′A:P′C=1:4,则P′A:P′B=( )
A.1:4B.1:5C.2:D.1:
【答案】C
【解析】
连接AP,根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′,然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等,根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′,连接PP′,根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形,然后求出∠AP′P是直角,再利用勾股定理用AP′表示出PP′,又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍,代入整理即可得解.
解:如图,连接AP,
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,
∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°,
又∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,
∴∠ABP=∠CBP′,
在△ABP和△CBP′中,
∵,
∴△ABP≌△CBP′(SAS),
∴AP=P′C,
∵P′A:P′C=1:4,
∴AP=4P′A,
连接PP′,则△PBP′是等腰直角三角形,
∴∠BP′P=45°,PP′=PB,
∵∠AP′B=135°,
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°,
∴△APP′是直角三角形,
设P′A=x,则AP=4x,
∴PP'=,
∴P'B=PB=,
∴P′A:P′B=2:,
故选:C.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2;
(3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式;
②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
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【题目】如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A. B. C. 10D. 8
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【题目】.已知:在矩形中,是对角线,于点,于点;
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,当时,连接.,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的.
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【题目】已知抛物线y=x2﹣2ax+m.
(1)当a=2,m=﹣5时,求抛物线的最值;
(2)当a=2时,若该抛物线与坐标轴有两个交点,把它沿y轴向上平移k个单位长度后,得到新的抛物线与x轴没有交点,请判断k的取值情况,并说明理由;
(3)当m=0时,平行于y轴的直线l分别与直线y=x﹣(a﹣1)和该抛物线交于P,Q两点.若平移直线l,可以使点P,Q都在x轴的下方,求a的取值范围.
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【题目】天门山索道是世界最长的高山客运索道,位于张家界天门山景区.在一次检修维护中,检修人员从索道A处开始,沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护.如图:已知米,米,AB与水平线的夹角是,BC与水平线的夹角是.求:本次检修中,检修人员上升的垂直高度是多少米?(结果精确到1米,参考数据:)
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【题目】我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后,进一步投入资金1550万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价(元)与年销售量(万件)之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数:
销售单价(元) | 200 | 230 | 250 |
年销售量(万件) | 14 | 11 | 9 |
(1)请求出与之间的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)请说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?
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【题目】定义:连接抛物线上两点的线段叫抛物线的弦,在这两点之间抛物线上的任意一点P与此两点构成的三角形称作抛物线的弦三角,点P称作弦锥,设点P的横坐标为x.
已知抛物线经过A(1,2)、B(m,n)、C(3,﹣2)三点,P是抛物线上AC之间的一点,以AC为弦的弦三角为△PAC.
(1)图一,当m=2,n=1时,求该抛物线的解析式,若x=k1时△PAC的面积最大,求k1的值.
(2)图二,当m=2,n≠1时,用n表示该抛物线的解析式,若x=k2时△PAC的面积最大,求k2的值.k1与k2有何数量关系?
(3)图三,当m≠2,n≠1时,用m,n表示该抛物线的解析式,若x=k3时△PAC的面积最大,求k3的值.观察图1,2,3,过定点A、C,根据B在各种不同位置所得计算结果,你发现通过两个定点的抛物线系中,以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时,弦锥的横坐标有何规律?
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