Question

16．在△ABC中，∠C=90°，AC=$2\sqrt{5}$，∠A的角平分线交BC于D，且AD=$\frac{4}{3}\sqrt{15}$，则tanB的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 首先由已知，根据勾股定理求出CD，然后求出tan∠CAD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得∠CAD=30°，又由已知AD平分∠BAC，得∠BAC=60°，根据直角三角形到性质得到∠B的度数，从求出tanB的值．

解答 解：在直角三角形ACD中，
由勾股定理得：
CD²=AD²-AC²=（$\frac{4}{3}\sqrt{15}$） ²-（2$\sqrt{5}$）²=$\frac{80}{3}$-20=$\frac{20}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{15}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{2}{3}\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即tan∠CAD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAD=30°，
又∵∠A的角平分线交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠B=30°，
∴tanB=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 此题考查的知识点是解直角三角形，由已知先求出CD，再求出tan∠CAD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得出∠CAD=30°是关键．