Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点E的坐标为（﹣，﹣）；（3）点P的坐标为（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．

【解析】

试题（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解析式，设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，），然后列出EF关于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；

（3）过点F作直线a⊥EF，交抛物线与点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可求得点P、P′、P″的坐标．

试题解析：（1）∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），∴AC=5．∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴BC=AC=5，∴B（﹣4，﹣5）．将点A和点B的坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为．

（2）如图1所示：

设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=﹣1．

所以直线AB的解析式为y=x﹣1．设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，），∴EF=﹣（t﹣1）==，∴当t=﹣时，FE取最大值，此时，点E的坐标为（﹣，﹣）．

（3）存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线与点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″．

由（2）可知点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，），t=﹣，∴点E（﹣，﹣）、F（﹣，）．

①当=时，解得：x=﹣或x=﹣（舍去），∴点P的坐标为（﹣，）．

②当=﹣时，解得：x=﹣1+或x=﹣1﹣，∴点P′（﹣1﹣，﹣），P″（﹣1+，﹣）．

综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．