A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
分析 根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C,即可判断①;根据等腰直角三角形求出AP⊥BC,AP=$\frac{1}{2}$BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C,求出∠FPC=∠EPA,根据ASA推出△APE≌△CPF,推出AE=CF,PE=PF,S△APE=S△CPF,再逐个判断即可.
解答 解:∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×$(180°-90°)=45°,∴①正确;
:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,AP=$\frac{1}{2}$BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C.
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA,
在△APE和△CPF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$,
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴AE=CF,∴②正确;
PE=PF,
∵∠EPF=90°,
∴△EPF是等腰直角三角形,∴③正确;
∵△APE≌△CPF,
∴S△APE=S△CPF,
∵BP=CP,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC,
∴四边形AEPF的面积是
S=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=$\frac{1}{2}$S△ABC,∴④正确;
即正确的有4个.
故选D.
点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形的性质,等腰三角形的性质的应用,能求出△APE≌△CPF是解此题的关键.
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\\{z=1}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$ | C. | $\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=8}\\{z=1}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\\{z=2}\end{array}\right.$ |
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A. | $\sqrt{13}$ | B. | $\sqrt{\frac{1}{2}}$ | C. | $\sqrt{8}$ | D. | $\frac{1}{{\sqrt{2}}}$ |
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