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20.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G.给出以下四个结论:①∠B=∠C=45°;②AE=CF;③△EPF是等腰直角三角形;④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半.其中正确的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C,即可判断①;根据等腰直角三角形求出AP⊥BC,AP=$\frac{1}{2}$BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C,求出∠FPC=∠EPA,根据ASA推出△APE≌△CPF,推出AE=CF,PE=PF,S△APE=S△CPF,再逐个判断即可.

解答 解:∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×$(180°-90°)=45°,∴①正确;
:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,AP=$\frac{1}{2}$BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C.
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA,
在△APE和△CPF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$,
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴AE=CF,∴②正确;
PE=PF,
∵∠EPF=90°,
∴△EPF是等腰直角三角形,∴③正确;
∵△APE≌△CPF,
∴S△APE=S△CPF
∵BP=CP,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC
∴四边形AEPF的面积是
S=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=$\frac{1}{2}$S△ABC,∴④正确;
即正确的有4个.
故选D.

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形的性质,等腰三角形的性质的应用,能求出△APE≌△CPF是解此题的关键.

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