Question

以关于x的整系数方程x²+（t-4）x+t=0的最大整数根为直径作⊙O，M为⊙O外的一点，过M作⊙O的切线MA和割线MBC，A为切点，若MA，MB，MC都是整数，且MB，MC都不是合数，求MA，MB，MC的长度．

Answer 1

分析：运用根与系数的关系以及切割定理得出根的取值范围，进而确定z的取值，从而解决．

解答：解：设方程两根为x₁、x₂则

x1+x2=4-t① x1x2=t②

又MA=x，MB=y，BC=z，则x﹑y﹑z都是正整数．
由切割线定知
MA2=MB•MC=MB（MB+BC），
即x²=y²+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的t，得
x₁x₂=4-x₁-x₂．
整理分解，得
（x₁+1）（x₂+1）=5．
因为⊙O的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根t=4．进而，z=BC≤4．
又正整数z不是合数，故z=3，2，1．
当z=3时，（x+y）（x-y）=3y，有

x+y=3 x-y=y

x+y=y x-y=3

x+y=3y x-y=1

可得适合题意的解为x=2，y=1．
当z=1和z=2时，没有适合题意的解，
所以，MA=x=2，MB=y=1，MC=y+z=4．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及切割线定理，综合性较强．