练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    观察、猜想、探究：
    在△ABC中，∠ACB=2∠B．
    （1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
    （2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
    （3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
    分析：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；
    （2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；
    （3）AB=CD-AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．
    解答：
    解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，
    ∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
    ∴DE=DC，
    在Rt△ACD和Rt△AED中，
    AD=AD，DE=DC，
    ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
    ∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
    ∵∠ACB=2∠B，
    ∴∠AED=2∠B，
    又∵∠AED=∠B+∠EDB，
    ∴∠B=∠EDB，
    ∴BE=DE=DC，
    则AB=BE+AE=CD+AC；

    （2）AB=CD+AC，理由为：
    在AB上截取AG=AC，如图2所示，
    ∵AD为∠BAC的平分线，
    ∴∠GAD=∠CAD，
    ∵在△ADG和△ADC中，
    AG=AC
    ∠GAD=∠CAD
    AD=AD
    ，
    ∴△ADG≌△ADC（SAS），
    ∴CD=CG，∠AGD=∠ACB，
    ∵∠ACB=2∠B，
    ∴∠AGD=2∠B，
    又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
    ∴∠B=∠GDB，
    ∴BE=DG=DC，
    则AB=BG+AG=CD+AC；

    （3）AB=CD-AC，理由为：
    在AF上截取AG=AC，如图3所示，
    ∵AD为∠FAC的平分线，
    ∴∠GAD=∠CAD，
    ∵在△ADG和△ACD中，
    AG=AC
    ∠GAD=∠CAD
    AD=AD
    ，
    ∴△ADG≌△ACD（SAS），
    ∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
    ∵∠ACB=2∠B，
    ∴∠FGD=2∠B，
    又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
    ∴∠B=∠GDB，
    ∴BG=DG=DC，
    则AB=BG-AG=CD-AC．
    点评：此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•龙岩质检）观察、猜想、探究
    已知矩形ABCD中，直线l垂直AC于点C，点E是BC上的动点（不与点C重合），过点E作EF⊥AE交直线l于点F．
    （1）如图①，当AB=BC，E为BC中点时，猜想线段AE与FE有何数量关系，并证明你的猜想；
    （2）如图②，已知AB=3，AD=4．
    ①当点E与点B重合时，求AE：EF的值；
    ②探究：当点E在线段BC上运动时，AE：EF的值是否发生改变？若不变，请求出该值并给予证明；若发生改变，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    观察、猜想、探究
    已知矩形ABCD中，直线l垂直AC于点C，点E是BC上的动点（不与点C重合），过点E作EF⊥AE交直线l于点F．
    （1）如图①，当AB=BC，E为BC中点时，猜想线段AE与FE有何数量关系，并证明你的猜想；
    （2）如图②，已知AB=3，AD=4．
    ①当点E与点B重合时，求AE：EF的值；
    ②探究：当点E在线段BC上运动时，AE：EF的值是否发生改变？若不变，请求出该值并给予证明；若发生改变，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    观察、猜想、探究：
    在△ABC中，∠ACB=2∠B．
    （1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
    （2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
    （3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013年福建省龙岩市长汀县龙山中学中考数学模拟试卷（3月份）（解析版） 题型：解答题

    观察、猜想、探究：
    在△ABC中，∠ACB=2∠B．
    （1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
    （2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
    （3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案