Question

15．如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15．
（1）探究：如图1，作AH⊥BC于点H，则AH=12，△ABC的面积S_△ABC=84．
（2）拓展：如图2，点D在边AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE+CF=y．
①求y与x的函数关系式，并求y的最大值和最小值；
②对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，请求出这样的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AH=x，则CH=14-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AH的长，利用三角形的面积公式可直接求出△ABC的面积；
（2）①设AE=m，CF=n，则m+n=y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S_△ABC=S_△ABD+S_△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值；
②当x=$\frac{56}{3}$时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当$\frac{56}{3}$＜x≤13时，此时在线段AC上存在两点D；当13＜x≤14时，此时在线段AC上存在唯一的点D．因此x的取值范围为x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，AH⊥BC于点H，
∴设AH=x，则CH=14-x，
∴AB²-AH²=AC²-CH²，即13²-x²=15²-（14-x）²，解得x=5，即AH=5，
∴BH=$\sqrt{{AB}^{2}-{BH}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×14×12=84．
故答案为：12，84；

（2）①设AE=m，CF=n，则m+n=y，
∵由三角形面积公式，得S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$xm，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CF=$\frac{1}{2}$xn，
∴m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴y=m+n=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{2{S}_{△ABC}}{x}$=$\frac{168}{x}$，即y=$\frac{168}{x}$．
∵△ABC中AC边上的高为$\frac{2{S}_{△ABC}}{AC}$=$\frac{168}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范围为$\frac{56}{5}$≤x≤14．
∵m+n随x的增大而减小，
∴当x=$\frac{56}{5}$时，y的最大值为15，当x=14时，y的最小值为12．
②∵当x=$\frac{56}{3}$时，BD⊥AC，
∴线段AC上存在唯一的点D；
当$\frac{56}{3}$＜x≤13时，此时在线段AC上存在两点D；
当13＜x≤14时，此时在线段AC上存在唯一的点D．
∴x的取值范围为x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，在解答此题时要注意三角形面积的灵活应用，难度适中．