Question

在边长为10的正三角形ABC中，一个小球以BC上一个动点D作为始点位置，将小球击中到AC中点E，根据入射角等于反射角原理小球反弹到AB上的F处，再反弹到BC上点G处终止（线路如图），显然，终点G的位置是随着始点D的位置变化而变化．设DC=x，BG=y，请解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当动点D在何处时，动点G与点D恰好重合？
（3）若要保证点G始终在BC边上（端点B、C除处），请问点D的位置有何限制？（直接给出答案，不用写出过程．）

Answer 1

分析：（1）先从三角形AEF与三角形CDE全等，又由三角形 BFG与三角形CDE相似从而得到．
（2）两点重合时即为y=x，代入从得到位置．
（3）点G在边BC上即为y大于等于0，代入即得．

解答：解：（1）∵由题意AE=EC，∠A=∠C，∠FEA=∠DEC
∴△AEF=△CDE
∴AF=CD=x
∴BF=10-x
由题意∠B=∠C，∠AFE=∠EDC
∴△BFG∽△CDE
即

CD

BG

=

EC

BF

即

x

y

=

5

10-x

∴y与x关系式为y=-

1

5

x2+ 2x

（2）当两点重合时即为y=x
x=-

1

5

x2 +2x
解得x=5，x=0（不符舍去）
即点D在边BC的中点．

（3）若要保证点G始终在BC边上（端点B、C除处），
则点D在点B和点C之间．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，（1）从三角形AEF与三角形CDE全等，再三角形 BFG与三角形CDE相似从而得到．（2）有要求得到条件y=x从而解得．（3）点G在边BC上就要y大于等于0即求得．