分析 (1)利用垂直平分线的性质可得AP=AQ,易得∠EQC=45°,可得CE=CQ,由CE=t,则BP=2t,CQ=t,∴AQ=8-t,利用勾股定理可得AB,则AP=10-2t,AQ=8-t,可得10-2t=8-t,解得t;
(2)过P作PM⊥BE,交BE于M,由$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$可得PM,因为y=S△ABC-S△BPE,易得y与t的函数关系式,利用二次函数的最值可得y的最小值;
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上,过P作PN⊥AC,交AC于N,易得△PAN∽△BAC,利用相似三角形的性质可得PN,AN,NQ,因为∠ACB=90°,B、C(E)、F在同一条直线上,可得△QCF∽△QNP,利用相似三角形的性质列式,可解得结果.
解答 解:(1)如图(1),∵点A在线段PQ的垂直平分线上,∴AP=AQ,
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,
∴∠EQC=45°,∴∠DEF=∠EQC,∴CE=CQ,
由题意知:CE=t,BP=2t,
∴CQ=t,∴AQ=8-t,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=10cm,
则AP=10-2t,∴10-2t=8-t,
解得:t=2,
答:当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上;
(2)如图(2),过P作PM⊥BE,交BE于M,
∴∠BMP=90°,
在Rt△ABC和Rt△BPM中,
∴$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$,∴$\frac{PM}{2t}=\frac{10}{8}$,
∴PM=$\frac{8}{5}t$,
∵BC=6cm,CE=t,∴BE=6-t,
∴y=S△ABC-S△BPE
=$\frac{1}{2}BC•AC-\frac{1}{2}BE•PM=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×(6-t)×\frac{8}{5}t$
=$\frac{4}{5}{t^2}-\frac{24}{5}t+24=\frac{4}{5}{(t-3)^2}+\frac{84}{5}$,
∵$a=\frac{4}{5}>0$,
∴抛物线开口向上,
∴当t=3时,y最小=$\frac{84}{5}$,
答:当t=3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为 $\frac{84}{5}$cm2;
(3)如图(3),假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上,
过P作PN⊥AC,交AC于N,
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°,
∵∠PAN=∠BAC,∴△PAN∽△BAC,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AN}{AC}$,∴$\frac{PN}{6}=\frac{10-2t}{10}=\frac{AN}{8}$,∴$PN=6-\frac{6}{5}t$,$AN=8-\frac{8}{5}t$,
∵NQ=AQ-AN,
∴NQ=$8-t-(8-\frac{8}{5}t)=\frac{3}{5}t$,
∵∠ACB=90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF=90°,∠QCF=∠PNQ,
∵∠FQC=∠PQN,∴△QCF∽△QNP,
∴$\frac{PN}{FC}=\frac{NQ}{CQ}$,∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{{\frac{3}{5}t}}{t}$,
∵0<t<4.5,
∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{3}{5}$,
解得:t=1,
答:当t=1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.
点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定,作恰当的辅助线,构建直角三角形是解答此题的关键.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 对角线互相平分的四边形是平行四边形 | |
B. | 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 | |
C. | 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 | |
D. | 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 |
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