Question

【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图像开口向下，与x轴交于点A（－6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图像上的一个动点（不与点C重合）

（1） 求二次函数的关系式；

（2）如图1当点P是该函数图像上一个动点且在线段的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；

（3）如图2，该函数图像的顶点为D，在该函数图像上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3） 或.

【解析】

（1）由题意设函数的表达式为：结合已知函数解析式即可求解；

（2）由点P在线段的上方，设连接 ，从而可得答案；

（3）证明为直角三角形，延长DC至D′使CD=CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，计算sin∠DAC ，sin2∠DAC=sin∠DAD′得到sin∠EAB，tan∠EAB ，利用一次函数的性质得一次函数是解析式，联立解析式解方程组即可求解．

解：（1） 抛物线与x轴交于点A（－6，0）和点B（2，0），

设函数的表达式为：

二次函数

解得：

函数的表达式为：．

（2）如图1所示，在的上方，

连接

设

把代入，

解得：

所以点P坐标为或

（3） 抛物线为：，为顶点，

则

延长DC至D′使CD=CD′，连接AD′，

过点D作DH⊥AD′， 则

即：

解得：

∠EAB＝2∠DAC，

①当点E在AB上方时， 则直线AE的表达式为：，

将点坐标代入上式：

直线AE的表达式为：

解得： 或 （舍去）

即点

②当点E在AB下方时，

设直线为：

将点坐标代入上式：

直线为：

解得： 或 （舍去）

综上，点或